Логарифмирование — действие, заключающееся в нахождении логарифма числа или выражения.
Логарифмирование является одним из двух действий, обратных возведению в степень. Если
то
Методом логарифмирования могут быть решены некоторые логарифмические уравнения.
Решение уравнения логарифмированием схематически можно описать приблизительно так.
ОДЗ:
Логарифмируем обе части уравнения по основанию a:
(просто приписываем к обеим частям уравнения логарифм по основанию a. a — основание логарифма, стоящего в показателе степени).
Показатель степени выносим за знак логарифма:
Примеры решения уравнений методом логарифмирования.
ОДЗ: x>0.
Логарифмируем обе части уравнения по основанию 3:
В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма. В правой части находим значение логарифма:
(Обратите внимание: показатель степени — разность. Сумму и разность при вынесении за знак логарифма обязательно нужно взять в скобки).
Полученное уравнение решаем с помощью замены переменной.
Пусть
тогда
Обратная замена:
Эти простейшие логарифмические уравнения решаем по определению логарифма:
Ответ: 1; 27.
ОДЗ: x>0.
Логарифмируем обе части уравнения по основанию 2:
(Обратите внимание: произведение в правой части уравнения записываем в скобках).
В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма. В правой части от логарифма произведения переходим к сумме логарифмов:
Пусть
тогда
Возвращаемся к исходной переменной:
Ответ: 1/4; 8.
ОДЗ:
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
В левой части показатель степени выносим за знак логарифма. Логарифм в правой части вычисляем:
Замена
Обратная замена
Ответ:
ОЗД: x>0.
Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:
Показатель степени вынесем за знак логарифма
Здесь сначала удобно раскрыть скобки
Замена
Ответ: 10; 0,1; 100; 0,01.
В следующий раз рассмотрим еще два вида логарифмических уравнений, сводящихся к таким уравнениям.