Показательные уравнения: вынесение

Показательные уравнения: вынесение вынесение общего множителя за скобки — следующий шаг в рассмотрении видов показательных уравнений и способов их решения.

Признаки показательного уравнения, решаемого вынесением общего множителя за скобки:

1) все степени имеют одинаковые основания;

2) все показатели степеней имеют одинаковые коэффициенты при переменных.

Количество степеней может быть любым.

Выносить за скобки можно степень с любым показателем, но удобнее всего в качестве общего множителя вынести степень с наименьшим показателем если основание a>1, с наибольшим — при a<1.

Вынести за скобки общий множитель — значит, каждое слагаемое разделить на этот множитель. При делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаем. При вычитании наименьшего показателя получим все степени с положительными показателями (в противном случае появятся степени с отрицательными показателями и придётся иметь дело с дробями, что менее удобно).

В общем виде решение показательных уравнений вынесением общего множителя за скобки схематически можно записать так:

${k_1}{a^{kx + {b_1}}} + {k_2}{a^{kx + {b_2}}} + ... + {k_n}{a^{kx + {b_n}}} = d$

Если

$kx + {b_m}$

— наименьший из показателей, то в качестве общего множителя выносим за скобки степень с этим показателем:

${a^{kx + {b_m}}} \cdot (\frac{{{k_1}{a^{kx + {b_1}}}}}{{{a^{kx + {b_m}}}}} + \frac{{{k_2}{a^{kx + {b_2}}}}}{{{a^{kx + {b_m}}}}} + ... +$

$+ \frac{{{k_n}{a^{kx + {b_n}}}}}{{{a^{kx + {b_m}}}}}) = d$

${a^{kx + {b_m}}} \cdot ({k_1}{a^{kx + {b_1} - (kx + {b_m})}} +$

$+ ... + {k_n}{a^{kx + {b_n} - (kx + {b_m})}}) = d$

${a^{kx + {b_m}}} \cdot ({k_1}{a^{kx + {b_1} - kx - {b_m}}} +$

$+ ... + {k_n}{a^{kx + {b_n} - kx - {b_m}}}) = d$

Все слагаемые с иксами в показателях степеней — противоположные числа — взаимно уничтожаются:

${a^{kx + {b_m}}} \cdot ({a^{{b_1} - {b_m}}} + {a^{{b_2} - {b_m}}} +$

$+ ... + {a^{{b_n} - {b_m}}}) = d$

Таким образом, с скобках получаем некоторое число

${a^{{b_1} - {b_m}}} + {a^{{b_2} - {b_m}}} + ... + {a^{{b_n} - {b_m}}} = c$

Разделив обе части уравнения на это число c, получим простейшее показательное уравнение:

${a^{kx + {b_m}}} = \frac{d}{c}.$

Примеры.

$1){5^{x + 2}} - {5^x} = 120$

5>1, выносим за скобки степень с меньшим показателем (он равен x):

${5^x} \cdot (\frac{{{5^{x + 2}}}}{{{5^x}}} - \frac{{{5^x}}}{{{5^x}}}) = 120$

${5^x} \cdot ({5^{x + 2 - x}} - 1) = 120$

${5^x} \cdot ({5^2} - 1) = 120$

${5^x} \cdot 24 = 120\_\_\_\left| {:24} \right.$

${5^x} = 5$

$x = 1$

Ответ: 1.

$2){5^{1 - 2x}} + 4 \cdot {5^{2 - 2x}} - {5^{3 - 2x}} = - 0,8$

5>1, выносим за скобки общий множитель — степень с наименьшим показателем (1-2x):

${5^{1 - 2x}} \cdot (\frac{{{5^{1 - 2x}}}}{{{5^{1 - 2x}}}} + \frac{{4 \cdot {5^{2 - 2x}}}}{{{5^{1 - 2x}}}} - \frac{{{5^{3 - 2x}}}}{{{5^{1 - 2x}}}}) = - 0,8$

${5^{1 - 2x}} \cdot (1 + 4 \cdot {5^{2 - 2x - 1 + 2x}} - {5^{3 - 2x - 1 + 2x}}) =$

$= - 0,8$

${5^{1 - 2x}} \cdot (1 + 4 \cdot {5^1} - {5^2}) = - 0,8$

${5^{1 - 2x}} \cdot ( - 4) = - 0,8\_\_\_\left| {:( - 4)} \right.$

${5^{1 - 2x}} = 0,2$

${5^{1 - 2x}} = {5^{ - 1}}$

Приравниваем показатели:

$1 - 2x = - 1$

$- 2x = - 2$

$x = 1$

Ответ: 1.

$3){2^{12x - 1}} - {4^{6x - 1}} + {8^{4x - 1}} - {16^{3x - 1}} = 640$

Приводим все степени к основанию 2:

${2^{12x - 1}} - {({2^2})^{6x - 1}} + {({2^3})^{4x - 1}} - {({2^4})^{3x - 1}} =$

$= 640$

${2^{12x - 1}} - {2^{12}}^{x - 2} + {2^{12}}^{x - 3} - {2^{12}}^{x - 4} = 640$

Степень с наименьшим показателем (12x-4) выносим за скобки:

${2^{12x - 4}} \cdot (\frac{{{2^{12x - 1}}}}{{{2^{12x - 4}}}} - \frac{{{2^{12}}^{x - 2}}}{{{2^{12x - 4}}}} + \frac{{{2^{12}}^{x - 3}}}{{{2^{12x - 4}}}} - 1) =$

$= 640$

${2^{12x - 4}} \cdot ({2^3} - {2^2} + {2^1} - 1) = 640$

${2^{12x - 4}} \cdot (8 - 4 + 2 - 1) = 640$

${2^{12x - 4}} \cdot 5 = 640\_\_\_\left| {:5} \right.$

${2^{12x - 4}} = 128$

Приводим к степеням с одинаковыми основаниями

${2^{12x - 4}} = {2^7}$

и приравниваем показатели

$12x - 4 = 7$

$12x = 11$

$x = \frac{{11}}{{12}}$

Ответ: 11/12.

$4){3^{2{x^2} - x + 1}} - 2 \cdot {3^{2{x^2} - x - 1}} = 63$

Выносим за скобки степень с меньшим показателем (2x²-x-1):

${3^{2{x^2} - x - 1}} \cdot (\frac{{{3^{2{x^2} - x + 1}}}}{{{3^{2{x^2} - x - 1}}}} - \frac{{2 \cdot {3^{2{x^2} - x - 1}}}}{{{3^{2{x^2} - x - 1}}}}) = 63$