Решение логарифмических уравнений

Решение логарифмических уравнений продолжим рассмотрением способа, основанного на применении монотонности функций.

Этот способ базируется на двух утверждениях.

I. Если в уравнении

$f(x) = a$

функция f(x) возрастает (убывает) на некотором промежутке, то это уравнение на этом промежутке может иметь не более одного корня.

II. Если в уравнении

$f(x) = g(x)$

функция f(x) возрастает на некотором промежутке, а функция g(x) на этом промежутке убывает (или наоборот), то это уравнение на этом промежутке может иметь не более одного корня.

Рассмотрим решение логарифмических уравнений с помощью использования возрастания и убывания функций на конкретных примерах.

$1){\log _3}x = 16 - 5x$

OДЗ: x>0.

Функция

$f(x) = {\log _3}x$

— возрастающая, функция g(x)=16-5x — убывающая. Следовательно, данное уравнение имеет не более одного корня. Находим его подбором: x=3.

Ответ: 3.

$2){\log _{0,7}}x = {\log _{12}}x$

OДЗ: x>0.

Функция

$f(x) = {\log _{0,7}}x$

убывающая,

$g(x) = {\log _{12}}x$

— возрастающая. Следовательно, уравнение может иметь единственный корень. Находим его подбором: x=1.

Ответ: 1.

$3){2^x} = 41 - 9 \cdot {\log _5}x$

OДЗ: x>0.

Функция

$f(x) = {2^x}$

— возрастающая, функция

$g(x) = 41 - 9 \cdot {\log _5}x$

— убывающая. Поэтому данное уравнение может иметь не более одного корня. Подбором находим, что x=5.

Ответ: 5.

$4){\log _7}x = 3 - 2x - {x^2}$

OДЗ: x>0.

Функция

$f(x) = {\log _7}x$

— возрастающая. Квадратичная функция g(x)=3-2x-x² возрастает при x∈(-∞; -1) и убывает при x∈(-1;∞), то есть на ОДЗ g(x) убывает. Значит, данное уравнение имеет единственный корень либо не имеет корней. Подбором находим x=1.

Ответ: 1.

$5){\log _2}x = \frac{8}{x}$

OДЗ: x>0.

Функция

$f(x) = {\log _2}x$

— возрастающая. Функция

$g(x) = \frac{8}{x}$

убывает на ОДЗ. Таким образом, это уравнение имеет не более одного корня. Подбираем его: x=4.

Ответ: 4.

Добавить комментарий Отменить ответ