Решение простейших показательных неравенств вида
и
основывается на свойстве показательной функции
которая возрастает при a>1 и убывает при 0<a<1.
Рассмотрим решение простейших показательных неравенств на конкретных примерах.
Приводим обе части неравенства к степеням с одинаковым основанием.
Так как 10>1, показательная функция
возрастает, знак неравенства между показателями степеней не изменяется:
Это — линейное неравенство. Алгоритм решения: неизвестные — в одну сторону, известные — в другую с противоположным знаком:
Обе части неравенства делим на число, стоящее перед иксом. При делении на положительное число знак неравенства не меняется:
Полученное решение изобразим на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое, -1 отмечаем закрашенной точкой:
Ответ: [-1; ∞).
Приводим обе части неравенства к степеням с одинаковым основанием:
Так как основание 0,3<1, показательная функция
убывает, знак неравенства между показателями степеней изменяется на противоположный:
Изобразим решение неравенства на числовой прямой. Так как неравенство строгое, -2,5 отмечается выколотой точкой:
Ответ: (-∞; -2,5).
Так как основание 7>1, показательная функция возрастает, знак неравенства между показателями не меняется:
Это неравенство — квадратичное. Решим его методом интервалов.
Ищем нули функции y=x²-4x+3, то есть решаем квадратное уравнение
Полученные корни x1=1, x2=3 отмечаем на числовой прямой (закрашенными точками, так как неравенство нестрогое):
Ответ: [1; 3].
Приводим обе части к степеням с одинаковым основанием
Так как основание 2/3 меньше единицы, показательная функция убывает, поэтому знак неравенства между показателями степеней изменяется на противоположный:
Получили квадратичное неравенство. Решим его методом интервалов.
Решение неравенства отметим на числовой прямой:
Ответ: (-∞; -2)U(2; ∞).