Как решать показательные неравенства

Рассмотрим, как решать показательные неравенства, содержащих степени с разными основаниями. Решение таких неравенств аналогично решению соответствующих показательных уравнений.

(далее…)

Неравенства со степенями

Рассмотрим неравенств со степенями вида

    \[{a^{f(x)}} > {b^{f(x)}}\]

    \[{a^{f(x)}} > {b^{ - f(x)}}\]

Соответствующие показательные уравнения решаются делением либо умножением обеих частей на одну из степеней.

Поскольку степень с положительным основанием есть положительное число, деление или умножение на степень не приведёт к смене знака неравенства. Таким образом, решение таких видов неравенств со степенями аналогично решению уравнений и сводится к решению простейших показательных неравенств.

(далее…)

Примеры решения показательных неравенств

Примеры решения показательных неравенств продолжим рассмотрением неравенств, решаемых вынесением общего множителя за скобки.

Решение показательных неравенств этого вида тесно связано с решением соответствующих уравнений. Как и в уравнениях, в качестве общего множителя за скобки желательно выносить степень с наименьшим показателем, если основание a>1, либо наибольшим, если a<1.

(далее…)

Решение показательных неравенств

Решение показательных неравенств продолжим рассмотрением примеров, приводимых к простейшим с использованием свойств степеней.

Решение показательных неравенств тесно связано с решением соответствующего вида показательных уравнений. Отличие — в переходе от степеней к показателям степеней. В уравнениях из равенства степеней с одинаковыми основаниями следует равенство показателей степеней, в неравенствах же знак либо не изменяется (если основание a>1), либо меняется на противоположный (при 0<a<1).

Рассмотрим решение показательных неравенствах на конкретных примерах.

    \[1){({5^{x + 6}})^{x - 3}} \le {0,2^x} \cdot {25^{x - 5}}\]

ОДЗ: x∈R.

(далее…)

Решение простейших показательных неравенств

Решение простейших показательных неравенств вида

    \[{a^x} > b\]

и

    \[{a^{f(x)}} > {a^{g(x)}}\]

основывается на свойстве показательной функции

    \[y = {a^x},\]

которая возрастает при a>1 и убывает при 0<a<1.

Рассмотрим решение простейших показательных неравенств на конкретных примерах.

    \[1){10^{5x + 2}} \ge 0,001\]

(далее…)

Сумма квадратов логарифмов

Сначала выясним, как решать уравнение, в одной части которого — сумма квадратов логарифмов, а в другой — нуль.

Так как сумма неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда каждая из функций равна нулю, сумма квадратов логарифмов равна нулю, если каждый из логарифмов равен нулю.

Поскольку логарифм единицы равен нулю, сумма квадратов логарифмов равна нулю при условии, что под знаком каждого из логарифмов стоит единица:

    \[\log _a^2f(x) + \log _b^2g(x) = 0\]

(далее…)