Как решать показательные неравенства

Рассмотрим, как решать показательные неравенства, содержащих степени с разными основаниями. Решение таких неравенств аналогично решению соответствующих показательных уравнений.

$1){2^{{x^2} - x + 2}} - {5^{{x^2} - x}} > {5^{{x^2} - x - 1}} - {2^{{x^2} - x}}$

Группируем степени с одинаковыми основаниями. Удобнее для этого развести их по разные стороны неравенства:

${2^{{x^2} - x + 2}} + {2^{{x^2} - x}} > {5^{{x^2} - x - 1}} + {5^{{x^2} - x}}$

Из каждой пары степеней выносим за скобки общий множитель — степень с меньшим показателем. Вынести за скобки общий множитель- значит, каждое слагаемое разделить на этот множитель. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляем прежним, а показатели вычитаем:

${2^{{x^2} - x}} \cdot ({2^{{x^2} - x + 2 - ({x^2} - x)}} + 1) > {5^{{x^2} - x - 1}} \cdot (1 +$

$+ {5^{{x^2} - x - ({x^2} - x - 1)}})$

${2^{{x^2} - x}} \cdot ({2^2} + 1) > {5^{{x^2} - x - 1}} \cdot (1 + {3^1})$

Делить можно сразу на 20 (20=4∙5), но практика показывает, что деление в два этапа позволяет избежать возможных ошибок:

${2^{{x^2} - x}} \cdot 5 > {5^{{x^2} - x - 1}} \cdot 4\_\_\_\left| {:5 > 0} \right.$

${2^{{x^2} - x}} > \frac{{{5^{{x^2} - x - 1}}}}{5} \cdot 4\_\_\_\left| {;4 > 0} \right.$

$\frac{{{2^{{x^2} - x}}}}{4} > \frac{{{5^{{x^2} - x - 1}}}}{5}$

${2^{{x^2} - x - 2}} > {5^{{x^2} - x - 2}}\_\_\_\left| {:{5^{{x^2} - x - 2}}} \right. > 0$

${\left( {\frac{2}{5}} \right)^{{x^2} - x - 2}} > 1$

${\left( {\frac{2}{5}} \right)^{{x^2} - x - 2}} > {\left( {\frac{2}{5}} \right)^0}$

Так как основание 2/5<1, показательная функция

$y = {\left( {\frac{2}{5}} \right)^x}$

убывает, поэтому знак неравенства между показателями степеней изменяется на противоположный:

${x^2} - x - 2 < 0$

Квадратичное неравенство решим методом интервалов. Нули функции, стоящей в левой части неравенства — x1=-1; x2=2. Отмечаем их на числовой прямой.

kak-reshat-pokazatelnye-neravenstva

Для проверки знака возьмем нуль: 0²-0-2=-2, в промежуток, которому принадлежит нуль, ставим «-«. Остальные знаки расставляем в шахматном порядке. Так как решаем неравенство, в котором левая часть меньше нуля, выбираем промежуток со знаком «-«.

Ответ: x ∈ (-1; 2).

Вариант неравенств такого вида — все степени имеют одинаковые основания, но отличаются коэффициентами при x в показателях.

$2){7^{x + 3}} + {7^{x + 2}} - 5 \cdot {7^{x + 1}} \le 51 \cdot {49^{\frac{1}{x}}}$

В левой части выносим за скобки степень с наименьшим показателем

${7^{x + 1}} \cdot ({7^{x + 3 - (x + 1)}} + {7^{x + 2 - (x + 1)}} -$

$- 5) \le 51 \cdot {({7^2})^{\frac{1}{x}}}$

${7^{x + 1}} \cdot ({7^2} + {7^1} - 5) \le 51 \cdot {7^{\frac{2}{x}}}$

${7^{x + 1}} \cdot 51 \le 51 \cdot {7^{\frac{2}{x}}}\_\_\_\left| {;51 > 0} \right.$

${7^{x + 1}} \le {7^{\frac{2}{x}}}$

Пришли к показательному неравенству простейшего вида. Так как основание 7>1, функция

$y = {7^x}$

возрастает, знак неравенства между показателями не изменяется:

$x + 1 \le \frac{2}{x}$

Чтобы решить это неравенство методом интервалов перенесем все слагаемые в левую часть и приведём дроби к наименьшему общему знаменателю:

${x^{\backslash x}} + {1^{\backslash x}} - \frac{{{2^{\backslash 1}}}}{x} \le 0$

$\frac{{{x^2} + x - 2}}{x} \le 0$

$\frac{{{x^2} + x - 2}}{x} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + x - 2 = 0\\ x \ne 0 \end{array} \right.$

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = - 2;{x_2} = 1\\ x \ne 0 \end{array} \right.$

Полученные точки отмечаем на числовой прямой (с учётом ОДЗ x≠0). Для проверки знака возьмём x=2:

$\frac{{{2^2} + 2 - 2}}{2} = 2 > 0,$

в промежуток, которому принадлежит 2, ставим знак «+», остальные знаки чередуем в шахматном порядке:

kak-reshat-pokazatelnye-neravenstva-primery

Ответ:

$x \in ( - \infty ; - 2] \cup (0;1].$

Добавить комментарий Отменить ответ