Как сравнивать логарифмы

Как сравнивать логарифмы?

При сравнении логарифмов используют свойства логарифмической функции

$y = {\log _a}x$

При сравнении логарифмов с одинаковыми основаниями:

— если основание больше единицы (a>1), функция возрастает, значит, большему значению аргумента соответствует большее значение функции (то есть знак неравенства не изменяется);

— если основание меньше единицы (0<a<1), функция убывает, значит, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции (знак неравенства меняется на противоположный).

С помощью схемы сравнение логарифмов можно изобразить так:

kak-sravnivat-logarifmy

Примеры.

1) Сравнить b и c, если

${\log _3}b > {\log _3}c.$

Решение.

Основание 3>1, функция возрастает, знак неравенства между выражениями, стоящими под знаками логарифмов, не изменяется:

$b > c.$

2) Сравнить m и n, если

${\log _{\frac{1}{9}}}m \le {\log _{\frac{1}{9}}}n.$

Решение.

Основание 1/9<1, функция убывает, знак неравенства между выражениями, стоящими под знаками логарифмов, изменяется на противоположный:

$m \ge n.$

3) Сравнить с единицей основание логарифма, если

${\log _a}0,3 < {\log _a}\frac{1}{3}.$

Решение.

Сравним числа, стоящие под знаками логарифмов. Для этого представим их в виде обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями:

$0,3 = \frac{{{3^{\backslash 3}}}}{{10}} = \frac{9}{{30}},\frac{{{1^{\backslash 10}}}}{3} = \frac{{10}}{{30}}$

Поскольку

$\frac{9}{{30}} < \frac{{10}}{{30}}, \Rightarrow 0,3 < \frac{1}{3}.$

То есть, знак неравенства не изменился. Значит, функция возрастает и основание a>1.

Сравнение логарифмов с разными основаниями.

Чтобы сравнить логарифмы с разными основаниями, можно попытаться, используя свойства логарифмов, привести их к одинаковым основаниям.

Например, сравним

${\log _{81}}5$

${\log _{\sqrt {27} }}6$

Оба логарифма можно привести к основанию 3:

${\log _{81}}5 = {\log _{{3^4}}}5 = \frac{1}{4}{\log _3}5 =$

$= {\log _3}{5^{\frac{1}{4}}} = {\log _3}\sqrt[4]{5},$

${\log _{\sqrt {27} }}6 = {\log _{{3^{\frac{3}{2}}}}}6 = \frac{1}{{\frac{3}{2}}}{\log _3}6 = \frac{2}{3}{\log _3}6 =$

$= {\log _3}{6^{\frac{2}{3}}} = {\log _3}\sqrt[3]{{{6^2}}} = {\log _3}\sqrt[3]{{36}}.$

Так как

$\sqrt[4]{5} < \sqrt[3]{{36}}$

и основание 3>1, функция возрастает и знак неравенства не изменяется:

${\log _3}\sqrt[4]{5} < {\log _3}\sqrt[3]{{36}}$

Следовательно,

${\log _{81}}5 < {\log _{\sqrt {27} }}6.$

Иногда бывает достаточно сравнить логарифмы с нулём.

Примеры.

1) Сравнить

${\log _{1,4}}7,1u{\log _{0,9}}2,7$

Сравним каждый из логарифмов с нулём:

${\log _{1,4}}7,1 > 0,$

${\log _{0,9}}2,7 < 0.$

Так как первый логарифм больше нуля, а второй — меньше нуля, то

${\log _{1,4}}7,1 > {\log _{0,9}}2,7$

2) Сравнить

${\log _{\frac{1}{2}}}1,7$

${\log _{2,6}}2,1$

Сравниваем каждый из логарифмов с нулём:

${\log _{\frac{1}{2}}}1,7 < 0,$

${\log _{5,6}}2,1 > 0$

Первый логарифм меньше нуля, второй — больше нуля, следовательно, первый логарифм меньше второго:

${\log _{\frac{1}{2}}}1,7 < {\log _{5,6}}2,1.$

Сравнивать логарифмы можно, опираясь непосредственно на определение логарифма.

Например, сравним

${\log _3}10$

${\log _8}62.$

${3^2} = 9,{\log _3}10 > {\log _3}9, \Rightarrow {\log _3}10 > 2;$

${8^2} = 64,{\log _8}62 < {\log _8}64, \Rightarrow {\log _8}62 < 2.$

Следовательно,

${\log _3}10 > {\log _8}62.$

Добавить комментарий Отменить ответ