Неравенства со степенями

Рассмотрим неравенств со степенями вида

${a^{f(x)}} > {b^{f(x)}}$

${a^{f(x)}} > {b^{ - f(x)}}$

Соответствующие показательные уравнения решаются делением либо умножением обеих частей на одну из степеней.

Поскольку степень с положительным основанием есть положительное число, деление или умножение на степень не приведёт к смене знака неравенства. Таким образом, решение таких видов неравенств со степенями аналогично решению уравнений и сводится к решению простейших показательных неравенств.

${a^{f(x)}} > {b^{f(x)}}\_\_\_\left| : \right.{b^{f(x)}} > 0$

${\left( {\frac{a}{b}} \right)^{f(x)}} > 1$

${\left( {\frac{a}{b}} \right)^{f(x)}} > {\left( {\frac{a}{b}} \right)^0}$

Примеры.

$1){2^{5x - 12}} \le {9^{5x - 12}}\_\_\_\left| : \right.{9^{5x - 12}} > 0$

${\left( {\frac{2}{9}} \right)^{5x - 12}} \le 1$

${\left( {\frac{2}{9}} \right)^{5x - 12}} \le {\left( {\frac{2}{9}} \right)^0}$

Так как 2/9<1, показательная функция

$y = {\left( {\frac{2}{9}} \right)^x}$

убывает, поэтому знак неравенства между показателями степеней меняется на противоположный:

$5x - 12 \ge 0$

Решаем линейное неравенство:

$5x \ge 12\_\_\_\left| {:5 > 0} \right.$

$x \ge 2,4$

Решение отмечаем на числовой прямой и записываем ответ:

Ответ:

$x \in [2,4;\infty ).$

$2){6^{2{x^2} - 3x - 5}} < {2^{2{x^2} - 3x - 5}}\_\_\_\left| : \right.{2^{2{x^2} - 3x - 5}} > 0$

${3^{2{x^2} - 3x - 5}} < 1$

${3^{2{x^2} - 3x - 5}} < {3^0}$

Так как основание степени 3>1, показательная функция

$y = {3^x}$

возрастает, знак неравенства между показателями не изменяется:

$2{x^2} - 3x - 5 < 0$

Это квадратичное неравенство решим методом интервалов. Нули функции, стоящей в левой части неравенства — x1=-1; x2=2,5, Отмечаем эти точки на числовой прямой:

reshenie-neravenstv-so-stepenyami

Для проверки знака можно взять нуль:

$2 \cdot {0^2} - 3 \cdot 0 - 5 = - 5 < 0,$

в промежутке, которому принадлежит нуль, ставим «-«, остальные знаки чередуем в шахматном порядке. Так как левая часть меньше нуля, выбираем промежуток со знаком «-» и записываем ответ.

Ответ:

$x \in ( - 1;2,5).$