Примеры логарифмических уравнений

Рассмотрим примеры логарифмических уравнений, сводящихся к уравнениям, решаемых методом логарифмирования.

$1){6^{\log _6^2x}} + {x^{{{\log }_6}x}} = 12$

ОДЗ:x>0.

Преобразуем первое слагаемое так:

${6^{\log _6^2x}} = {6^{{{\log }_6}x \cdot {{\log }_6}x}} = {({6^{{{\log }_6}x}})^{{{\log }_6}x}} = {x^{{{\log }_6}x}}$

Отсюда,

${x^{{{\log }_6}x}} + {x^{{{\log }_6}x}} = 12$

$2{x^{{{\log }_6}x}} = 12$

Разделив обе части уравнения на 2, получим

${x^{{{\log }_6}x}} = 6$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 6:

${\log _6}{x^{{{\log }_6}x}} = {\log _6}6$

В левой части уравнения показатель степени выносим за знак логарифма, в правой — вычисляем значение логарифма:

${\log _6}x \cdot {\log _6}x = 1$

$\log _6^2x = 1$

Пусть

${\log _6}x = t,$

тогда

${t^2} = 1$

${t_1} = 1;{t_2} = - 1$

Обратная замена:

${\log _6}x = 1;{\log _6}x = - 1$

${x_1} = {6^1};{x_2} = {6^{ - 1}}$

${x_1} = 6;{x_2} = \frac{1}{6}$

Ответ: 6; 1/6.

$2){5^{\lg x}} + {x^{\lg 5}} = 50$

ОДЗ: x>0.

Одно из слагаемых в левой части уравнения оставим без изменения (например, второе, чтобы x не появился в основании логарифма), другое — преобразуем:

${5^{\frac{{{{\log }_5}x}}{{{{\log }_5}10}}}} + {x^{\lg 5}} = 50$

${({5^{{{\log }_5}x}})^{\frac{1}{{{{\log }_5}10}}}} + {x^{\lg 5}} = 50$

${x^{\frac{1}{{{{\log }_5}10}}}} + {x^{\lg 5}} = 50$

${x^{\lg 5}} + {x^{\lg 5}} = 50$

$2{x^{\lg 5}} = 50$

Обе части уравнения разделим на 2:

${x^{\lg 5}} = 25$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10:

$\lg {x^{\lg 5}} = \lg 25$

Показатель степени вынесем за знак логарифма

$\lg 5 \cdot \lg x = \lg 25$

Разделим обе части на lg5:

$\lg x = \frac{{\lg 25}}{{\lg 5}}$

По формуле

$\frac{{{{\log }_c}b}}{{{{\log }_c}a}} = {\log _a}b,$

$\frac{{\lg 25}}{{\lg 5}} = {\log _5}25 = 2$

Отсюда,

$\lg x = 2$

$x = {10^2}$

$x = 100$

Ответ: 100.

Добавить комментарий Отменить ответ