Сумма квадратов логарифмов

Сначала выясним, как решать уравнение, в одной части которого — сумма квадратов логарифмов, а в другой — нуль.

Так как сумма неотрицательных функций равна нулю тогда и только тогда, когда каждая из функций равна нулю, сумма квадратов логарифмов равна нулю, если каждый из логарифмов равен нулю.

Поскольку логарифм единицы равен нулю, сумма квадратов логарифмов равна нулю при условии, что под знаком каждого из логарифмов стоит единица:

$\log _a^2f(x) + \log _b^2g(x) = 0$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\log _a}f(x) = 0\\ {\log _b}g(x) = 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = 1\\ g(x) = 1 \end{array} \right.$

Например,

$1)\log _9^2(2{x^2} - 7x + 4) + \log _{0,7}^2({x^2} - x - 5) =$

$= 0$

ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} - 7x + 4 > 0\\ {x^2} - x - 5 > 0 \end{array} \right.$

Из условия равенства суммы неотрицательных чисел следует, что

$\left\{ \begin{array}{l} \log _9^2(2{x^2} - 7x + 4) = 0\\ \log _{0,7}^2({x^2} - x - 5) = 0 \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\log _9}(2{x^2} - 7x + 4) = 0\\ {\log _{0,7}}({x^2} - x - 5) = 0 \end{array} \right.$

Из условия равенства нулю логарифма

$\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} - 7x + 4 = 1\\ {x^2} - x - 5 = 1 \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} - 7x + 3 = 0\\ {x^2} - x - 6 = 0 \end{array} \right.$

Решаем каждое из квадратных уравнений:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_1} = \frac{1}{2};{x_2} = 3\\ {x_1} = - 2;{x_2} = 3 \end{array} \right.$

Оба логарифма равны нулю при x=3.

Ответ: 3.

Обратите внимание, что ОДЗ в этом уравнении мы записали, но не искали. В процессе решения появляются новые уравнения, корни которых (если они есть) автоматически входят в ОДЗ исходного уравнения:

$\left\{ \begin{array}{l} 2{x^2} - 7x + 4 = 1 > 0\\ {x^2} - x - 5 = 1 > 0 \end{array} \right.$

Аналогично рассуждаем при решении уравнений, содержащих логарифм в любой чётной степени, если в одной части уравнения стоит сумма неотрицательных чисел, а в другой — нуль.

Пример.

$2){\lg ^8}(4 - 2x - {x^2}) + \sqrt {{x^2} - 9} +$

$+ \left| {{x^2} + 5x + 6} \right| = 0$

ОДЗ:

$\left\{ \begin{array}{l} 4 - 2x - {x^2} > 0\\ {x^2} - 9 \ge 0 \end{array} \right.$

Левая часть уравнения — сумма неотрицательных функций, правая — нуль. Следовательно, данное уравнение равносильно системе

$\left\{ \begin{array}{l} {\lg ^8}(4 - 2x - {x^2}) = 0\\ \sqrt {{x^2} - 9} = 0\\ \left| {{x^2} + 5x + 6} \right| = 0 \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \lg (4 - 2x - {x^2}) = 0\\ {x^2} - 9 = 0\\ {x^2} + 5x + 6 = 0 \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4 - 2x - {x^2} = 1\\ {x^2} - 9 = 0\\ {x^2} + 5x + 6 = 0 \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + 2x - 3 = 0\\ {x^2} - 9 = 0\\ {x^2} + 5x + 6 = 0 \end{array} \right.$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_1} = - 3;{x_2} = 1\\ {x_1} = - 3;{x_2} = 3\\ {x_1} = - 3;{x_2} = - 2 \end{array} \right.$

Каждое слагаемое обращается в нуль при x= -3. Этот корень входит в ОДЗ.

Ответ: -3.

Если сумма квадратов логарифмов равна положительному числу, преобразуем её, используя свойства логарифмов.

Пример.

$3)\log _5^2(25x) + \log _5^2(\frac{x}{{125}}) = 17$

ОДЗ: x>0.

Логарифм произведения равен сумме логарифмов, логарифм частного — разности логарифмов. Поскольку каждый логарифм в квадрате, сумму и разность также нужно возвести в квадрат:

${({\log _5}25 + {\log _5}x)^2} +$